物理、拓扑、逻辑与计算之罗塞塔石碑（四）

约翰·贝兹， 迈克·斯徳

2009年3月2日

2.3 幺半范畴

在物理学中，将两个并排放置的系统看作形成了一个单一的系统往往是很有用的。在拓扑学中，两个流形的无交并本身也是一个流形。在逻辑学中，两条陈述的合取还是一条陈述。在编程中，我们可以把两种数据类型组合成一种单一的“乘积类型”。“幺半范畴”的概念将所有这些例子统一在一个单一的框架当中。

一个幺半范畴C拥有一个函子⨂：C×C→C，它取出两个对象X和Y，把它们放在一起给出一个新的对象X⨂Y。为了对此严格表述，我们需要范畴的笛卡尔积：

定义6 范畴C和C´的笛卡尔积C×C´是这样的范畴，其中：

• 对象是由一个对象X∈C与另一个对象X´∈C´组成的对(X，X´)；

• 从(X，X´)到(Y，Y´)的态射是由态射f:X→Y与态射f´:X´→Y´组成的对(f,f´);

•  合成是按分量完成的：(g,g´)(f,f´)=(gf,g´f´）;

• 恒同态射是按分量定义的：1_(X,X´)=(1_X,1_X´)。

麦克莱恩1963年定义了幺半范畴。其定义的微妙之处在于这一事实：(X⨂Y) ⨂Z与X⨂(Y ⨂Z)通常并不相等。取而代之，我们必须指定它们之间的一个同构，叫做“结合子”。类似地，尽管幺半范畴具有“幺元对象”I，通常I⨂X和X⨂I并不等于X。取而代之，我们必须指定同构I⨂X≅X和X⨂I≅X。为了使其可控，这些同构必须接着满足某些方程：

定义7 一个幺半范畴由下列要素组成：

• 一个范畴 C，

• 一个张量积函子⨂: C×C→C，

• 一个幺元对象I∈C，

• 一个称为结合子的自然同构，对每三个对象X,Y,Z∈C指定一个同构

在Set 的情形，这说明集合X×X´的每一个点都来自X中的一个点和X´中的一个点。在物理上，这将表示组合系统X⊗X´的每一个态g都是将系统X和系统X´的态组合起来所构建的。贝尔定理说明在量子理论中这是不 对的。其原因就是，量子理论使用非笛卡尔幺半范畴Hilb！

此外，在量子理论中我们不能 自由地复制和删除信息。伍特斯和祖瑞克就这一效应证明了一个精确的定理，并聚焦在复制上：“不可克隆定理”。你也可以证明一个“不可删除定理”。再一次地，这些结果依赖于Hilb 的非笛卡尔张量积。